ไฮเพอร์โบลา

27 ก.พ.
บทนิยาม   ไฮเพอร์โบลา  คือ  เซตของจุดทุกจุดในระนาบ  ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ  ในเซตนี้ไปยังจุดที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตัว  ซึ่งมากกว่าศูนย์  แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสอง
จุดคงที่นี้เรียกว่า  “โฟกัสของไฮเพอร์โบลา”

1.  กราฟไฮเพอร์โบลาที่มีควาามสัมพันธ์เป็น

 

มีลักษณะดังนี้

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser. 

ลักษณะของไฮเพอร์โบลา
   จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด  O(0, 0)
   แกนตามขวางอยู่บนแกน X
   จุดยอดอยู่ที่จุด  A'(-a,0) และ  A(a, 0)  
และ เรียก A’A ว่า แกนตามขวาง  และยาว 2a หน่วย (a>0)
   จุดปลายแกนสังยุดอยู่ที่จุด  B'(0, -b) และ  B(0, b)  
และ เรียก B’B ว่า แกนสังยุค  และยาว 2b หน่วย (b>0)
   จุดโฟกัสอยู่ที่จุด  F'(-c, 0) และ  F(c, 0)  
และ  F’F ยาว 2c หน่วย (c>0)
    c > a > 0   และ  
   ลาตัสเรกตัม ของไฮเพอร์โบลายาว =
   เรียก l และ l’ ว่า  เส้นอะซิมโทด (asymptode) หรือ เส้นกำกับ 
และมีสมการเป็น  
   eccentricity * ของไฮเพอร์โบลา  

*  eccentricity คือ  อัตราส่วนของระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัส และระยจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดเขียนแทนด้วย  e

 

ตัวอย่างที่ 1  จงหาสมการไฮเพอร์โบลา เมื่อผลต่างของระยะจากจุดใดๆ  บนไฮเพอร์โบลาไปยังจุด (5, 0) และ (-5, 0) เท่ากับ  8 หน่วย

       วิธีทำ  เนื่องจากจุด (5, 0) และ (-5, 0)  เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา  ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่  (0, 0)  และ c = 5
                   แกนตามขวางอยู่บนแกน X  และจากผลต่างเทว่ากับ  8 หน่วย จะได้ 2a = 8  นั่นคือ a = 4
                   เนื่องจาก  b =  c-  a
                   จะได้        b =  5 – 4
                                    b =  25 – 16 = 9
                                    b   =  3
                    สมการอยู่ในรูป  จะได้สมการที่ต้องการคือ
                      หรือ  9x – 16y = 144
                   จุดยอดอยู่ที่จุด  A'(-4, 0) และ  A(4, 0)
                   จุดปลายแกนสังยุดอยู่ที่จุด  B'(0, -3) และ  B(0, 3)
                    สมการเส้นกำกับคือ  y  =   x
                                                     3x + 4y = 0 หรือ  3x – 4y = 0
                    ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ   =   หน่วย
                    e  =  

 หน้า.
2 3 4 Next =>

 

พาราโบลา

27 ก.พ.

พาราโบลา (อังกฤษ: parabola, กรีก: παραβολή) เป็นภาคตัดกรวยที่เกิดจากการตัดกันระหว่างพื้นผิวกรวยด้วยระนาบที่ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย (generating line) ของพื้นผิวนั้น พาราโบลาสามารถกำหนดเป็นด้วยจุดต่าง ๆ ที่มีระยะห่างจากจุดที่กำหนด คือ จุดโฟกัส (focus) และเส้นที่กำหนด คือ เส้นไดเรกตริกซ์ (directrix)

พาราโบลาเป็นแนวคิดที่สำคัญในทฤษฎีคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ดี พาราโบลาสามารถพบได้บ่อยมากในโลกภายนอก และสามารถนำในใช้เป็นประโยชน์ในวิศวกรรม ฟิสิกส์ และศาสตร์อื่น ๆ

พาราโบลามีหลายรูปชนิด เช่นกรวยคว่ำกรวยหงาย บ้างทีตัดผ่าน 2 ช่อง บางทีตัดผ่าน 4 ช่อง แล้วแต่สมการที่มีการกำหนดมา ซึ่งจะเป็นชนิดให้ก็ได้แต่ไม่สามารถเป็นเส้นตรงๆได้เพราะจะไม่เรียกว่า พาราโบลา

ซึ่งโดยปกติ สมการพาราโบลามีอยู่หลายแบบด้วยกัน เช่น

 (x-h)^2 = 4p(y-k) \,

 y = ax^2 + bx + c    , a \neq 0 \,

 y = a(x-h)^2 + k       , a \neq 0 \,

 (y-k)^2 = 4p(x-h) \,

 x = ay^2 + by + c    , a \neq 0 \,

 x = a(y-k)^2 + h       , a \neq 0 \,

ฯลฯ

Nuvola apps edu mathematics-p.svg บทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มข้อมูล ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์

บลา บลา

สมการกำลังสาม

27 ก.พ.

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \!

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว a,b,c,d คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

สูตรกำลังสาม

ถ้าหาก x1,x2,x3 เป็นคำตอบของสมการกำลังสามแล้ว เราจะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสามได้ดังนี้

ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0 \!

กำหนดให้

<br />
\begin{align}<br />
q &= \frac{9abc – 27a^2d – 2b^3}{54a^3} \\<br />
r &= \sqrt{\left (\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right )^3 + q^2} \\<br />
s &= \sqrt[3]{q + r} \\<br />
t &= \sqrt[3]{q – r} \\<br />
\end{align}<br />
” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>คำตอบของสมการทั้งสามค่าสามารถคำนวณได้จากสูตร</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img src=หน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

สมการกำลังสอง

27 ก.พ.

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

ax^2 + bx + c = 0 \!

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x2, x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

สูตรกำลังสอง

สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}; \quad x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

[แก้] ดิสคริมิแนนต์

ดิสคริมิแนนต์ในกรณีต่างๆ จุดที่ตัดแกน x คือรากของสมการในจำนวนจริง (ไม่เกี่ยวกับการหงายหรือคว่ำของกราฟ)

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

Δ

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ
    x = -\frac{b}{2a} \!
  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ
    x

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

ชนิดของภาคตัดกรวย

27 ก.พ.

วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิด (เป็นวง) วงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัดกรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรือเรียก เส้นกำเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรียกว่า พาราโบลา หากระนาบไม่อยู่ในแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิดไม่เป็นวง จะเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้ว่าในกรณีนี้ระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่งบน และครึ่งล่าง ได้เป็นเส้นโค้งที่ขาดจากกันสองเส้น

ในกรณีที่เรียกว่า “ภาคตัดกรวยลดรูป” (degenerate conic) ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย

[แก้] ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด

แต่ละประเภทของภาคตัดกรวยนั้น สามารถนิยามโดยการใช้เส้นทางเดินของจุด โดยทุก ๆ จุด P บนเส้นทางเดิน จะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะดังนี้

  • วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
  • พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรียกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง กำหนดตายตัว และไม่ผ่านจุดโฟกัส เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
  • วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางหลัก
  • ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) – ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)

[แก้] ความเยื้อง (Eccentricity)

Eccentricity.png

ค่าความเยื้อง หรือ ค่าความเบี่ยงเบนจากศูนย์กลาง (eccentricity) ของภาคตัดกรวย เป็นค่าบ่งชี้ถึงความเบี้ยว หรือ เบี่ยงเบนไปจากความกลม โดยเมื่อความเยื้องมีค่าลดลง รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้จะมีรูปร่างเข้าใกล้ทรงกลมมากขึ้น

ถ้าเส้นตรง \,L\, คือไดเรกทริกซ์ และ \,F\, คือ จุดโฟกัส ค่าความเยื้อง \,e\, หาได้จาก

\frac{dist(P,F)}{dist(P,L)} = e \qquad e \in\mathbb{R}^*_+

โดยที่

  • \,dist(P,F) คือ ระยะทางจากจุด \,P\, ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปยังจุดโฟกัส \,F\,
  • \,dist(P,L) คือ ระยะทางจากจุด \,P\, ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ \,L\,

รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้ ขึ้นกับค่า \,e\, โดย

  • \,0<e<1 เป็นรูปวงรี
  • \,e=1 เป็นรูปพาราโบลา
  • \,e>1 เป็นรูปไฮเพอร์โบลา

[แก้] ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์

รูปแสดงการตัดกรวยด้วยระนาดในแนวต่าง ๆ

บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการสองตัวแปรกำลังสอง (quadratic equation) จะเป็นรูปภาคตัดกรวยเสมอ หากเราพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป

ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\;

แล้ว:

[แก้] เซมิเลตัสเรกตัม และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว

เซไมลาตัสเรกตัมของวงรี

เซมิเลตัสเรกตัม ของภาคตัดกรวย ปกติเขียนแทนด้วย l คือ ระยะทางจากจุดโฟกัสหนึ่ง ไปยังภาคตัดกรวย โดยวัดตั้งฉากกับแกนหลัก (major axis) มีความสัมพันธ์กับ a และ b โดย al=b^2\,\! หรือ l=a(1-e^2)\,\!

ในระบบพิกัดเชิงขั้วนั้น ภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสหนึ่งอยู่ที่จุดออริจิน และอีกจุดหนึ่ง(หากมี) บนแกน x ด้านบวก จะกำหนดโดยสมการต่อไปนี้

r (1 - e \cos \theta) = l\,\!

ภาคตัดกรวย

27 ก.พ.

ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น

การแก้ปัญหาโจทย์กำหนดการเชิงเส้น

27 ก.พ.
  • กำหนดตัวแปรที่ใช้ในฟังก์ชันเป้าหมายว่า x แทนตัวแปรอะไร y แทนตัวแปรอะไร
  • สร้างฟังก์ชันเป้าหมายให้สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ โดยเขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
  • สร้างเงื่อนไขบังคับตามข้อมูลที่โจทย์สั่ง
  • หาผลลัพธ์โดยวิธีที่ดีและง่ายที่สุดคือ การเขียนกราฟตามเงื่อนไขบังคับ
  • เมื่อเขียนกราฟแล้ว ให้แรเงาอาณาบริเวณที่เป็นไปได้ ต่อไปให้หาผลลัพธ์ หรือคำตอบที่ดีที่สุดจากคำตอบในอาณาบริเวณที่แรเงานี้ โดยการแทนค่าจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่ปิดล้อมบริเวณที่แรเงาไว้ ส่วนที่แรเงาของกราฟ จะเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ และค่า (x,y) ที่ทำให้ฟังก์ชันเชิงเส้นมีค่าสูงสุด จะเรียกว่า คำตอบที่เหมาะสมที่สุด
  • หาพิกัด (x,y) ที่เป็นจุดตัดของกราฟ นำแต่ละจุดไปแทนค่าในฟังก์ชันเป้าหมาย จะได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามต้องการ

[แก้] ข้อควรระวัง

  • ถ้าโจทย์ถามเกี่ยวกับคำตอบที่เหมาะสม คำตอบที่เหมาะสมจะเป็นจุดมุมของกราฟของคำตอบที่เป็นไปได้
  • ในกรณีที่หาจุด (x,y) ซึ่งคำตอบที่เหมาะสมที่สุดได้ 2 จุด เช่น จุด A(x1,y1) B(x2,y2) จะได้ว่า จุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B จะเป็นคำตอบที่เหมาะสมด้วย
  • โจทย์บางข้ออาจไม่มีคำตอบที่เหมาะสมที่สุด
ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.